五种数学能力的表现 （1）理解能力：理解数学概念、运算和各种关系——弄清楚数学符号、图表和运算步骤表示的意思。 理解能力是指学生掌握基础数学概念的能力。如果学生理解了数学概念，那么他们的知识就远远超出了孤立的论据和运算步骤，他们明白为什么一个数学概念很重要，而且其中的内容是有用的。而且他们还能意识到不同数学概念之间的许多联系。事实上，学生理解能力的高低程度与他们对这些联系的理解深度和广度有关。 例如，如果学生理解了分数除法，就不仅会计算6÷⅔=9，他们还可以用图表来表示运算过程，也可以用上述的算式来出题。（如果做一份菜要用⅔杯糖，共有6杯糖，请问用这6杯糖可以做几份菜？） 有理解基础的学生，学习内容要少一些，因为他们能从表面上不同的事物看到共性。如果他们领会了乘法交换律 —— 两数交换相乘得数相等，如3×5和5×3的结果一样，这样他们也就只需要学习一半左右的“算数”了。或者如果学生知道一个立方体的大小被放大n倍后，则此立方体的体积以n3 递增，他们也就明白了，在一些情况下无论物体是什么形状，物体都可以成比例地膨胀或缩小（他们可以理解为什么一个16盎司杯子的高度远小于同形状8盎司杯子高度的2倍）。 建立在理解基础上的知识为牢记或重新认识数学理论和方法提供了基础，也为解决新问题和不熟悉的问题，以及产生新知识提供了基础。例如，完全理解了整数运算的学生，就能够将这些概念和运算步骤扩大到包括小数点的运算。 理解能力还可以帮助学生在解决问题时避免出现临界误差——尤其是量值问题。例如：9.83乘7.65得到结果7,519.95，对于任何一个具有良好数字意识的学生来说，他们立刻就能看出结果肯定不对。结果不可能是8或者80的10倍，因为这两个相乘的数一个小于10，另一个小于8。可能的情况是小数点的位置错了。 （2） 运算能力：掌握数学运算法，例如可以灵活、精确、快速、适当地进行加减乘除运算。 运算能力包括熟练地进行心算或笔算加减乘除，而且能够适时、适当地应用这些运算方法。尽管“运算”一词含有计算过程的意思，在本书中，“运算”同时还指精通数学其他分支的运算过程，例如测量法（测量长度），代数学（解方程式），几何学（作图）和统计学（图表数据）。精通是指能够快速、准确、灵活地进行运算的能力。 学生需要快速、准确地计算基础数字组合（6+7, 17−9, 8×4如此之类）。同时也需要准确、有效地掌握运算法则 —— 逐步地从多位数整数加减乘除，到分数和小数，以及其它的运算练习。例如，掌握了64乘37运算法则的学生，可以直接将此运算法则应用到其它两位数乘法计算中，甚至可以完成更大数字的乘法计算。 使用计算器不会影响学生运算能力的发展。相反，计算器可以提高理解力和运算能力。但是作为教学辅助工具，计算器和计算机的应用可以是有效的学习方式，也可以是无效的。这就要求教师学习如何应用这些工具 ， 并教会学生使用 ， 以加强和综合学生数学各方面的能力。 运算方法的准确性和有效作用很重要，但同时计算过程还有助于提高学生的理解能力。通过学习各种对解决一整类问题具有普适意义的运算方法，例如任意两个分数相加，学生们可以理解到数学具有预见性，结构严谨，而且还充满各种模式。 如果学生只单纯地记忆运算过程，那他们就无法明白只有深层次的理解才能够对所学的知识记忆更加深刻，应用起来才能更加简单。例如，很多孩子做减法的时候，总是每列都用大数减去小数，不管大数在什么位置，那就自然得出以下的错误答案： （而不是14） 而真正理解了减法运算的孩子就很少犯这样的错误。 发展运算技能和发展理解能力常常是两个相互竞争的学校数学教学的重点。但是只有理解力而运算能力很弱的话，就产生了假二歧式，在理解的基础上更易于学习运算，而在学习运算的过程中又可以加强和发展数学理解能力。 （3） 应用能力：能够用数学公式表达问题，并且利用适当的概念和运算法则想出解决问题的方案。 应用能力就是应用概念和过程性知识来解决问题的能力。如果学生不知道某个概念或运算过程该在什么时候、什么地方使用，或者不该在什么时候、什么地方使用，这个概念或运算过程对他就没有用处。在学校，学生需要解决的是给定的问题，但是在学校外面，他们碰到的情况则不同，只有部分难点是真正需要解决的问题。因此学生也必须能够提出问题，给出解答方案，并选择最佳的答题方案。他们需要知道如何在大脑中构想数值或在纸上体现出来，他们需要知道如何分辨已知参数及其相关内容和未知参数。 常规的问题总是可以按照标准运算过程来解决。例如，大部分二年级的孩子知道，他们必须用加法来解答以下问题：“如果面包车上有12个学生，又上了7个，请问现在车上一共有多少个学生？”但是对于非常规的问题，学生必须想办法看懂题目，并作出解答。二年级的学生也可能遇到这样的问题：“一辆面包车上共有7个座位，每个座位上可以坐2-3个学生。如果车上有19个学生，那么有多少人必须2个人坐一个座位，又有多少人必须3个人坐一个座位？”要解答这个问题，学生就必须先有解题思路。他们要弄清题目中各个数及他们之间的关系，同时他们也要具备解答这个问题的相关运算知识。 （4） 推理能力：应用逻辑来解释和判断一个问题的解决方案，或者从已知的知识延伸到未知的某些知识。 推理能力是将数学知识紧密结合在一起的粘合剂。通过思考概念和现实问题之间的逻辑关系，学生可以发现某个问题的组成部分，并且认识到他们是如何联系在一起的。例如，如果有机会探讨奇数和偶数的问题，四年级的学生可以解释为什么任何奇数和偶数相加的和总是奇数。 提高学生推理能力的最好办法就是要求他们说明或证明解答问题的方法。例如，学习了分数相加的运算过程，就可以要求学生说明或证明运算过程，而不只是简单的运算练习。在与思想沟通的过程中，他们的推理能力得到了磨练。 推理能力与学习数学的其他能力有效地相互影响，尤其体现在学生解决问题时。当学生对问题进行推理时，他们形成了自己的理解，进行相应的运算，应用自己的知识，然后向他人讲解自己的解答方法，从而体现了数学是切合实际的，而且是可行的。 （5）学习兴趣：认识到数学是切合实际的、有益的和可行的——如果感兴趣并且愿意学习。 学习兴趣是成功学好数学的关键。我们对于数学能力的理解不仅仅限于理解力、运算能力、应用能力和推理能力，它还应该包括学习数学的兴趣。学生应该明白学习数学是有意义的一件事情， 只要付出合理的努力 ， 他们就一定能学好，而且能用好数学知识，在校内和校外都能。具备数学学习能力的学生能认识到数学是切合实际而且可行的学科，值得他们付出努力，也相信只要努力学习就能够得到回报。他们把自己当作是有效率的数学学习者、行动者和使用者。 学好数学要求学生喜欢这门学科。对数学感兴趣的学生不相信有什么神秘的“数学基因”决定成功与否。他们相信有了足够的付出和经验，就可以把它学好。如果学生要学习、认识和有效地应用数学，他们就不应该把数学当作一系列任意的规则和过程。数学作为一门学科，其中的知识是按逻辑地、切合实际地结合在一起的。学生要相信他们自己能够领会到这一点。 培养学习数学的兴趣，需要经常找机会弄清学习数学的意义，体验其带来的回报，认识到持之以恒的学习带来的好处。一旦学生建立了他们的数学能力，他们就会更有信心用自己的能力来学习和应用数学知识。他们懂得的数学概念越多，数学就变得更切合实际。相反，如果他们认为数学需要依靠记忆来学习，而不是真正理解数学的话，他们就开始失去了学习的信心。具备数学能力的学生相信他们能够解答问题，发展理解能力，通过刻苦的学习获得知识，值得他们去努力成为有数学能力的人。 |
